眾所周知，光波在傳播過(guò)程中總是受到衍射的影響。首個(gè)無(wú)衍射光束——貝塞爾光束于1987年提出，這類光束在傳播過(guò)程中橫向輪廓和強(qiáng)度均保持不變。在過(guò)去幾十年中，無(wú)衍射光束得到了廣泛研究，陸續(xù)發(fā)現(xiàn)了具有不同空間結(jié)構(gòu)的無(wú)衍射光束，如艾里光束、馬丟光束和拋物線光束等，成為了近年來(lái)的研究熱點(diǎn)，并被廣泛應(yīng)用于各種領(lǐng)域。
秦亦強(qiáng)、張超、陸延青教授研究團(tuán)隊(duì)發(fā)現(xiàn)，在求解近軸亥姆霍茲方程時(shí)，引入相似性變量，可以減少系統(tǒng)的自由度。從而將求解偏微分方程的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為一個(gè)涉及常微分方程的問(wèn)題，獲得了一類 “完美自相似光束”的精確解。這種光束在傳播過(guò)程中具有嚴(yán)格的自相似橫向輪廓，且強(qiáng)度保持不變，可以視為無(wú)衍射光束的推廣。
研究表明，在二維情況下，具有這種傳播特性的光束模式是唯一的（除了平面波的平凡解），并且可以用erf函數(shù)（高斯誤差函數(shù)）簡(jiǎn)單表示，可稱為“erf光束”。圖1描述了該光束在z=100mm、z=50mm和z=25mm處的橫向強(qiáng)度分布?？梢钥闯?，不同距離處，強(qiáng)度保持不變，橫向強(qiáng)度分布按傳播距離的平方根進(jìn)行縮放。
圖1. (a) erf光束傳播中的橫向強(qiáng)度分布； (b)、(c) 和 (d) 分別為z=100mm、z=50mm和z=25mm處的橫向強(qiáng)度分布。
該結(jié)果可以很容易地推廣到三維，圖2顯示了3D erf光束在距離z=25mm和z=100mm處的橫向強(qiáng)度分布。顯然，橫向輪廓保持不變，但進(jìn)行了縮放操作，表明了3D erf光束的強(qiáng)度保持和自相似特性。
圖2. 3D erf光束在(a)z=25mm和z=100mm處的橫向強(qiáng)度分布模式。
對(duì)于一般三維情況，研究人員同樣獲得了精確解，此時(shí)解不唯一。解的形式與光場(chǎng)的軌道角動(dòng)量有關(guān)，不同的拓?fù)浜蓴?shù)對(duì)應(yīng)不同的解，構(gòu)成一個(gè)光束族。圖3顯示了拓?fù)浜蓴?shù)為1時(shí)，光場(chǎng)在距離z=25mm和z=100mm處的兩個(gè)橫向強(qiáng)度分布圖及其對(duì)應(yīng)的強(qiáng)度分布模式。 可以看出，在拉伸圖3(a)的橫坐標(biāo)后，這兩個(gè)橫向輪廓完全重疊。
圖3. 完美自相似光束（圓柱坐標(biāo)系下的3D情況）在距離(a)
z=25mm和(c)和z=100mm處的橫向強(qiáng)度分布；(b) 和 (d) 是對(duì)應(yīng)的強(qiáng)度分布模式。
該研究提出的完美自相似光束構(gòu)成了一種獨(dú)特的自由空間光束模式，可以被視為無(wú)衍射光束和傳統(tǒng)自相似光束之間的中間模式。完美自相似光束的發(fā)現(xiàn)將開啟一個(gè)新的無(wú)衍射傳播研究課題，并可能有助于探索在自由空間通信、光學(xué)成像和光學(xué)微操縱等方面的應(yīng)用。并且這些光束可以從光學(xué)擴(kuò)展到聲學(xué)、流體或其他相關(guān)系統(tǒng)。
該成果以“Intensity-preserving self-similar beams”為題發(fā)表在Optica上[Optica 12(2), 255-258 (2025)]。2022級(jí)博士生汪稱龍以及陸蓉兒博士和趙瑞智博士為該工作的共同第一作者，張超教授、秦亦強(qiáng)教授和陸延青教授為共同通訊作者。該項(xiàng)研究得到了南京大學(xué)固體微結(jié)構(gòu)物理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室的支持，得到了國(guó)家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃、國(guó)家自然科學(xué)基金、江蘇省自然科學(xué)基金的資助。
文章鏈接：https://doi.org/10.1364/OPTICA.542980
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